1. 이산수학
1. 연속적인 것 <-> 이산적인 것
2. 도구, 기법, 방법론
- 도구 : 정의, 정리
- 기법 : 가우스 소거법, 근의 공식
- 방법 : 언제 무슨 기법을 무슨 도구로 어디다 쓸 것인지?
문제 해결
- 수학적 모델링 : 문제 > 추상 모델 >변형된 모델 > 문제 해결책
- 정보 모델링 : 문제 > 정보 > 처리 > 문제의 해결책
3. 추상화(abstraction)
- 수학적 개념 : 문제를 해결하기 위해 문제의 핵심 냄용만 남기고, 관련 없는 것들을 제거 -> 문제를 단순화
예 : 사과의 형태 = 동그란 형태에 꼭지가 있는 것.
그게 프랑스산 사과인지 대구산 사과인지, 초록색인지 빨간색인지는 중요한 부분이 아니다.
4. 알고리즘 (algorithm)
- computer programming language
: 컴퓨터 동작을 세밀하게 지시, 알고리즘의 핵심요소가 잘 드러나지 않음, 부차적인 표현에 신경써야함, 통일된 언어가 존재하지 않음 - 흐름도(flow chart)
: 알고리즘의 작동박식을 도식화함, 프로그램이 복잡하거나 크기가 크면 표현하기 어려움. - 의사코드 (pseudocodo)
: 프로그래밍 언어의 문법을 채용해 모호한 부분을 명확하게 기술
구체적인 표현이 불필요할 땐 자연어를 통해 설명식으로 기술
알고리즘의 작동방식을 설명하는 용도로만 사용
C언어를 기반으로 하는 의사코드 사용
- 할당문
- 제어문
- 순차문
- 조건문
- 반복문
- 제어구조 (control structure)
- sequence structure 순차 구조
- selection structure 선택 구조 (if, swich문)
- iteration structure 반복 구조 (for, while, foreach문)
2. 논리 (Logic)
1. 명제 Proposition : 참과 거짓을 구별할 수 있는 수학적 식
- 명제 진리값 : truth value
2. 명제의 종류
- 합성명제
- 조건명제, 쌍조건 명제
- 항진명제, 모순 명제
3. 논리 연산자
- 논리 집합 : 논리 변수(명제), 논리 상수
- 논리 연산 : OR ∨, AND ∧, NOT ~, XOR ⊕
- 합성명제 : 하나 이상의 명제와 논리 연산자, 관호로 이루어진 명제
- 논리 합 dusjunction ∨
- 논리 곱 conjunction ∧
- 부정 negation ~
- 배타적 논리합 eclusive ⊕ : 둘 다 T인 경우까지 배제(F)함
- p ⊕ q = (p ∧~ q) ∨ (~p ∧ ~q) = (T∧F) ∨ (F∧T)
| p : 5 > 1 = T q : 5 > 8 = F |
p ∨ q = T p ∧ q = F |
| p : 홀수+홀수 = 짝수 = T q : 짝수x홀수 = 짝수 = T |
p ∨ q = T p ∧ q = T |
| (p ∧ q) ∨ ( p ⊕ q) |
p ∨ q 와 동치 (동일한 진리표를 가짐) |
- 조건 명제 : 명제 p가 조건의 역할 수행, 명제 q가 결론의 역할 (p이면 q 이다)
- p → q ( p ⇒ q)
- p는 q의 충분 조건
- q는 p의 필요 조건
- p → q ( p ⇒ q)
| p | q | p → q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
- 쌍조건 명제 : 명제 p와 q가 조건의 역할과 결론의 역할을 동시에 수행(둘 다 참이거나, 둘 다 거짓이거나)
- p ↔ q
- (p → q)∧(q → p)
- p ↔ q ≡ ~(p ⊕ q)
- p ↔ q
| p | q | p → q | q → p | p ↔ q |
| T | T | T | T | T |
| T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | F |
| F | F | T | T | T |
- 동치 : 두 명제가 논리적으로 동등할 때 논리적 동치라고함
- 논리적 동등 : 두 명제가 동일한 진리값을 가짐
- p ≡ q
- p ↔ q, p ⇔ q 로 표시하기도 함
- 역, 이, 대우
- 조건명제 p → q
- 역 (coverse) : q → p
- 이 (inverse) : ~p → ~q
- 대우 (contrapositive) : ~q → ~p
- 조건명제 p → q
| 교환 법칙 | 결합 법칙 | 분배 법칙 |
| p ∨ q ≡ q ∨ p a + b = b + a p ∧ q ≡ q ∧ p a x b = b x a p ↔ q ≡ q ↔ p |
(p ∨ q) ∨ r ≡ r ∨ (q ∨ p) (a + b) + c = a + (b + c) (p ∧ q) ∧ r ≡ r ∧ (q ∧ p) (a x b) x c = a x (b x c) |
p ∨ (q ∧ r) ≡ (q ∨ p) ∧ (q ∨ r) p(q+r) = pq + pr p ∧ (q ∨ r) ≡ (q ∧ p) ∨ (q ∧ r) p + (qr) = (p + q) (p + r) |
| 항등 법칙 | 지배 법칙 | 부정법칙 |
| p ∨ F ≡ p p ∧ T ≡ p |
p ∨ T ≡ T p ∧ F ≡ F |
~ T ≡ F ~ F ≡ T q ∨( ~p) ≡ T q ∧( ~p) ≡ F |
| 이중 부정 법칙 | 멱등 법칙 | 드모르간 법칙 |
| ~(~p) ≡ p | p ∨ p ≡ p p ∧ p ≡ p |
~(p ∨ q) ≡ (~p) ∧ (~q) ~(p ∧ q) ≡ (~p) ∨ (~q) |
| 흡수법칙 | 함축법칙 | 대우 법칙 |
| p ∨ (p ∧ q) ≡ p p ∧ (p ∨ q) ≡ p |
p → q ≡ ~p ∨ q | p → q ≡ ~q ∨ ~p |
- 항진 명제 : 항상 참(T)인 명제
- 모순 명제 : 항상 거짓(F)인 명제
- 술어 논리 (predicate logic)
- 명제 함수 (propositional funtction) : 변수 값에 의해 함수의 진리 값이 결정되는 문장이나 식
- 변수 명세 : 변수 값 적시, 변수 범위 제시 (한정화)
- 한정화(quantitication)
- 전체 한정자 ∀ : "모든", "임의의".
명제함수 ∀xP(x) - 정의역의 모든 [임의의] x에 대해서 P(x)가 참(T)임을 의미 - 존재 한정자 ∃ : "존재한다"
명제함수∃xP(x) - 정의역 어떤 x에 대해서 P(x)가 참(T)임을 의미
- 전체 한정자 ∀ : "모든", "임의의".
- 명제함수의 타당성 검사
- 벤 다이어그램 (삼단논법)
- 추론 (inference) : 참으로 알려진 명제(전제 permise) 를 기초로 다른 명제(결론 conclusion)를 유도해 해는 과정
- 명제 함수 (propositional funtction) : 변수 값에 의해 함수의 진리 값이 결정되는 문장이나 식
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